Redes de resistencias delta-estrella


La transformación delta-estrella es una técnica adicional para transformar ciertas combinaciones de resistores que no se pueden manejar por medio de las ecuaciones en serie o en paralelo. También se conoce como transformación Pi - T.


A veces, al simplificar una red de resistores, nos encontramos en situaciones que no podemos manejar utilizando las herramientas que hemos visto hasta aqui. Algunas redes de resistores no se pueden simplificar mediante las combinaciones comunes en serie y paralelas. A menudo, esta situación puede manejarse al probar con la transformación Δ−Y, o transformación "delta-estrella".


Los nombres de delta y estrella vienen de la forma de los esquemas, parecidos a la letra griega y a la disposición de los resistores, que vemos en la figura siguiente. La transformación te permite reemplazar tres resistores en una configuración de Δ por tres resistores en una configuración en Y, y viceversa.


Con el estilo de trazado de Δ−Y se hace hincapié en que estas son configuraciones de tres terminales. Es importante darse cuenta del número diferente de nodos en las dos configuraciones. Δ tiene tres nodos, mientras que Y tiene cuatro nodos (uno adicional en el centro).


Se pueden volver a trazar las configuraciones para que los resistores queden en una distribución cuadrada. A esta se le conoce como configuración π−T.



El estilo π−T es un dibujo más convencional,similar a los que suelen aparecer en un esquema típico. Las ecuaciones de transformación que desarrollamos a continuación también son aplicables a π−T.


Transformación Δ−Y


Para que la transformación sea equivalente, la resistencia entre ambos pares de terminales debe ser la misma antes y después. Es posible escribir tres ecuaciones simultáneas para hacer evidente esta restricción.



Considera las terminales x e y (y por el momento supón que la terminal z no está conectada a nada, así que la corriente en R3 es 0). En la configuración Δ, la resistencia entre x e y es Rc con Ra + Rb.

Del lado de la Y, la resistencia entre x e y es la combinación en serie de R1 + R2 (de nuevo, supón que la terminal z no está conectada a nada, así que R1 y R2 llevan la misma corriente y se pueden considerar en serie). Igualamos estas entre sí para obtener la primera de tres ecuaciones simultáneas,

$$ R_1 + R_2 = \frac{R_c \cdot(R_a + R_b)}{R_c + (R_a + R_b)}$$

Podemos escribir dos expresiones parecidas para los otros dos pares de terminales. Observa que los resistores en Δ tienen nombres de letras, (Ra, etc.) y los resistores en Y tienen nombres con números, (R1, etc.). Después de resolver las ecuaciones simultáneas (no se muestran), obtenemos las ecuaciones para transformar cualquier red en otra.

Transformación Δ → Y


Las ecuaciones para transformar una red Δ en una red Y:


$$ R_1 = \frac{R_b \cdot R_c}{R_a + R_b + R_c}$$ $$ R_2 = \frac{R_a \cdot R_c}{R_a + R_b + R_c}$$ $$ R_3 = \frac{R_a \cdot R_b}{R_a + R_b + R_c}$$

La transformación de una red Δ en una red Y introduce un nodo adicional.


Transformación Y → Δ


Las ecuaciones para transformar una red Y en una red Δ:


$$ R_a = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1 }{R_1}$$ $$ R_b = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1 }{R_2}$$ $$ R_c = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1 }{R_3}$$

La transformación de una red Y en una red Δ elimina un nodo.




Ejemplo 1:


Hagamos un ejemplo. Supongamos que tenemos un circuito Δ con resistores de 3Ω. Obtengamps el equivalente en Y mediante las ecuaciones Δ → Y:


$$ R_1 = \frac{R_b \cdot R_c}{R_a + R_b + R_c} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 3 + 3} = 1 \Omega $$ $$ R_2 = \frac{R_a \cdot R_c}{R_a + R_b + R_c} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 3 + 3} = 1 \Omega $$ $$ R_3 = \frac{R_a \cdot R_b}{R_a + R_b + R_c} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 3 + 3} = 1 \Omega $$


Y al hacer los cálculos en la dirección contraria, Y → Δ , nos quedan las siguientes ecuaciones:


$$ R_a = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1 }{R_1} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1} = 3 \Omega $$ $$ R_b = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1 }{R_2} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1} = 3 \Omega $$ $$ R_c = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1 }{R_3} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1} = 3 \Omega $$

Ejemplo 2:


Veamos un ejemplo más parecido a la situación en la que se suelen utilizar estas transformaciones. Queremos encontrar el valor de la resistencia equivalente entre las terminales superior e inferior:



Por más que lo intentemos, no encontramos la solución utilizando configuraciones de resistores en serie o en paralelo. Pero tenemos otras herramientas. Primero, volvamos a trazar el esquema para hacer énfasis en que tenemos dos conexiones Δ, una sobre la otra.



Ahora elegimos una de la las Δ para hacer una conversión a Y. Realizaremos una transformación Δ → Y y veremos si resolvemos el problema, obteniendo otras oportunidades para la simplificación.


Empezamos con la Δ inferior (una elección arbitraria). Con mucho cuidado nombramos los resistores y nodos. Para obtener las respuestas correctas de las ecuaciones de transformación, es fundamental tener siempre bien los nombres de los resistores y los nodos. Rc debe conectar entre los nodos x e y, y así sucesivamente. Consulta en este mismo texto, más arriba, para recordar la convención de la nomenclatura.



Cuando realicemos la transformación sobre la Δ inferior, los resistores Δ negros serán reemplazados por los nuevos resistores Y grises, de esta forma:



Resolvemos aplicando las ecuaciones de transformación para Δ → Y:


$$ R_1 = \frac{R_b \cdot R_c}{R_a + R_b + R_c} = \frac{5 \cdot 3}{4 + 5 + 3} = \frac{15}{12} = 1,25 \Omega $$ $$ R_2 = \frac{R_a \cdot R_c}{R_a + R_b + R_c} = \frac{4 \cdot 3}{4 + 5 + 3} = \frac{12}{12} = 1,00 \Omega $$ $$ R_3 = \frac{R_a \cdot R_b}{R_a + R_b + R_c} = \frac{4 \cdot 5}{4 + 5 + 3} = \frac{20}{12} = 1,66 \Omega $$

Derivamos una red Y equivalente mediante la sustitución de los resistores Δ. Nos aseguramos que los nombres de los resistores Y se conecten entre los nombres de nodos correctos. Si tienes dudas, consulta en este mismo texto, más arriba, para recordar la convención de la nomenclatura:



¡Y listo! Nuestro circuito ahora tiene resistores en serie y paralelo donde no había ninguno. Continúamos con la simplificación con combinaciones en serie y paralelo hasta llegar a un solo resistor entre las terminales. Volvemos a trazar el esquema para que los símbolos queden en una distribución cuadrada más conocida:



Procedemos a los pasos de simplificación restantes con las herramientas conocidas para la simplificación de redes de resistores:


En la rama izquierda, 3,125 + 1,25 = 4,375 Ω


En la rama derecha, 4 + 1 = 5 Ω:



Seguimos resolviendo, ahora calculando el resistor equivalente en paralelo entre los resistores de 4,375 Ω y el de 5Ω:


$$ R_e = \frac{4,375 \cdot 5}{4,375 + 5} = 2,33 \Omega$$

Y terminamos con la suma de los últimos dos resistores en serie,


$$ R_{equivalente} = 2,33 \Omega + 4.66 \Omega = 4 \Omega$$




Conclusión:


Las transformaciones Δ−Y son otra herramienta útil de nuestra bolsa de trucos para la simplificación de circuitos antes de su análisis detallado. No es necesario que memorices las ecuaciones de transformación: De ser necesario, puedes buscarlas aquí.


Calculadora para Transformación Δ → Y:


Transformación Δ → Y

Esta calculadora permite hallar el valor de los resistores pertenecientes a una red con topología Y a partir de los valores de los resistores de una red en forma de Δ:

$$ R_1 = \frac{R_b \cdot R_c}{R_a + R_b + R_c}$$ $$ R_2 = \frac{R_a \cdot R_c}{R_a + R_b + R_c}$$ $$ R_3 = \frac{R_a \cdot R_b}{R_a + R_b + R_c}$$

Valor de Ra: Ω
 
Valor de Rb: Ω
 
Valor de Rc: Ω
 


Calculadora para Transformación Y → Δ:


Transformación Y → Δ

Esta calculadora permite hallar el valor de los resistores pertenecientes a una red con topología Δ a partir de los valores de los resistores de una red en forma de Y:

$$ R_a = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1 }{R_1} $$ $$ R_b = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1 }{R_2} $$ $$ R_c = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_3 \cdot R_1 }{R_3} $$

Valor de R1: Ω
 
Valor de R2: Ω
 
Valor de R3: Ω
 


Videos:


Transformación Delta-Y e Y-Delta:



Ejercicio resuelto:



Fuente.