Leyes de Kirchhoff


Las leyes (o Lemas) de Kirchhoff fueron formuladas por Gustav Kirchhoff en 1845. Son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para obtener los valores de la corriente y el potencial en cada punto de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía. Estas leyes nos permiten resolver los circuitos utilizando el conjunto de ecuaciones al que ellos responden.


Primera Ley de Kirchoff


En un circuito eléctrico, es común que se generen nodos de corriente. Un nodo es el punto del circuito donde se unen más de un terminal de un componente eléctrico. Si lo desea pronuncie “nodo” y piense en “nudo” porque esa es precisamente la realidad: dos o mas componentes se unen anudados entre sí (en realidad soldados entre sí). En la figura 1 se puede observar el más básico de los circuitos de CC (corriente continua) que contiene dos nodos.


Fig.1 Circuito básico con dos nodos


Observe que se trata de dos resistores de 1 Kohms (R1 y R2) conectados sobre una misma batería B1. La batería B1 conserva su tensión fija a pesar de la carga impuesta por los dos resistores; esto significa cada resistor tiene aplicada una tensión de 9V sobre él. La ley de Ohm indica que cuando a un resistor de 1 Kohms se le aplica una tensión de 9V por el circula una corriente de 9 mA:


I = V/R = 9/1.000 = 0,009 A = 9 mA


Por lo tanto podemos asegurar que cada resistor va a tomar una corriente de 9mA de la batería o que entre ambos van a tomar 18 mA de la batería. También podríamos decir que desde la batería sale un conductor por el que circulan 18 mA que al llegar al nodo 1 se bifurca en una corriente de 9 mA que circula por cada resistor, de modo que en el nodo 2 se vuelven a unir para retornar a la batería con un valor de 18 mA.



Fig.2


Es decir que en el nodo 1 podemos decir que


I1 = I2 + I3


y reemplazando valores, que:

18 mA = 9 mA + 9 mA


y en el nodo 2:


I4 = I2 + I3


Es obvio que las corriente I1 e I4 son iguales porque lo que egresa de la batería debe ser igual a lo que ingresa.


Enunciado de la Primera Ley de Kirchoff


La corriente entrante a un nodo es igual a la suma de las corrientes salientes. Del mismo modo se puede generalizar la primer ley de Kirchoff diciendo que la suma de las corrientes entrantes a un nodo son iguales a la suma de las corrientes salientes.


La razón por la cual se cumple esta ley se entiende perfectamente en forma intuitiva si uno considera que la corriente eléctrica es debida a la circulación de electrones de un punto a otro del circuito. Piense en una modificación de nuestro circuito en donde los resistores tienen un valor mucho más grande que el indicado, de modo que circule una corriente eléctrica muy pequeña, constituida por tan solo 10 electrones que salen del terminal positivo de la batería. Los electrones están guiados por el conductor de cobre que los lleva hacia el nodo 1. Llegados a ese punto los electrones se dan cuenta que la resistencia eléctrica hacia ambos resistores es la misma y entonces se dividen circulando 5 por un resistor y otros 5 por el otro. Esto es totalmente lógico porque el nodo no puede generar electrones ni retirarlos del circuito solo puede distribuirlos y lo hace en función de la resistencia de cada derivación. En nuestro caso las resistencias son iguales y entonces envía la misma cantidad de electrones para cada lado. Si las resistencias fueran diferentes, podrían circular tal vez 1 electrón hacia una y nueve hacia la otra de acuerdo a la aplicación de la ley de Ohm.


En otras palabras, que la energía eléctrica entregada por la batería es igual a la suma de las energías térmicas disipadas por los resistores.


Enunciado de la Segunda Ley de Kirchoff


En un circuito cerrado, la suma de las tensiones de batería que se encuentran al recorrerlo siempre serán iguales a la suma de las caídas de tensión existente sobre los resistores.


Cuando un circuito posee más de una batería y varios resistores de carga ya no resulta tan claro como se establecen la corrientes por el mismo. En ese caso es de aplicación la segunda ley de kirchoff, que nos permite resolver el circuito con una gran claridad.


Ejemplo 1:


En la figura siguiente se puede observar un circuito con dos baterías que nos permitirá resolver un ejemplo de aplicación.



Fig.3: Circuito de aplicación de la segunda ley de Kirchoff


Observe que nuestro circuito posee dos baterías y dos resistores y nosotros deseamos saber cual es la tensión de cada punto (o el potencial), con referencia al terminal negativo de B1 al que le colocamos un símbolo que representa a una conexión a tierra o masa.


Las tensiones de fuente, simplemente son las indicadas en el circuito, pero si pretendemos aplicar las caídas de potencial en los resistores, debemos determinar primero cual es la corriente que circula por aquel. Para determinar la corriente, primero debemos determinar cuál es la tensión de todas nuestras fuentes sumadas. Observe que las dos fuentes están conectadas de modos que sus terminales positivos están conectados entre si por el resistor R1. esto significa que la tensión total no es la suma de ambas fuentes sino la resta. Con referencia a tierra, la batería B1 eleva el potencial a 10V pero la batería B2 lo reduce en 1 V. Entonces la fuente que hace circular corriente es en total de 10 – 1 = 9V . Los electrones que circulan por ejemplo saliendo de B1 y pasando por R1, luego pierden potencial en B2 y atraviesan R2. Para calcular la corriente circulante podemos agrupar entonces a los dos resistores y a las dos fuentes tal como lo indica la figura siguiente:



Fig.4: Reagrupamiento del circuito


¿El circuito de la figura 4 es igual al circuito de la figura 3? No, este reagrupamiento solo se genera para calcular la corriente del circuito original. De acuerdo a la ley de Ohm:


I = Et / (R1+R2)


porque las cargas que salen de R1 deben pasar forzosamente por R2 y entonces es como si existiera un resistor total igual a la suma de los resistores:


R1 + R2 = 1100 Ohms


Como vimos, los resistores están conectados en serie cuando están conectados de este modo, de forma tal que ambos son atravesados por la misma corriente igual a


I = (10V - 1V) / (100Ω + 1000Ω ) = 0.00817 A = 8.17 mA


Ahora que sabemos cual es la corriente que atraviesa el circuito podemos calcular la tensión sobre cada resistor. De la expresión de la ley de Ohm


I = V / R


se puede despejar que


V = R . I


y de este modo reemplazando valores se puede obtener que la caída sobre R2 es igual a


VR2 = R2 ⋅ I = 100 Ω ⋅ 8,17 mA = 817mV


y del mismo modo:


VR1 = R1 ⋅ I = 1000 Ω ⋅ 8,17 mA = 8.17mV


Estos valores recién calculados de caídas de tensión pueden ubicarse sobre el circuito original con el fin de calcular la tensión deseada:



Fig.5: Circuito resuelto


Observando las cuatro flechas de las tensiones de fuente y de las caídas de tensión se puede verificar el cumplimiento de la segunda ley de Kirchoff, ya que comenzando desde la masa de referencia y girando en el sentido de las agujas del reloj podemos decir que


10 V – 8,17 V – 1 V – 0,817 V = 0 V


o realizando una transposición de términos y dejando las fuentes a la derecha y las caídas de tensión a la izquierda podemos decir que la suma de las tensiones de fuente


10 V – 1 V = 8,17 V + 0,817 V = 8,987 V = 9 V


Y además podemos calcular fácilmente que la tensión sobre la salida del circuito es de:


0,817 V + 1 V = 1,817 V


con la polaridad indicada en el circuito es decir positiva.



Ejemplo 2:


Supongamos que tenemos un circuito de la siguiente forma, y nos piden calcular la intensidad de las corrientes por cada rama:



Si planteamos las ecuaciones de nodos y mallas obtenemos las siguientes ecuaciones y los circuitos de cada maya analizada.




En base a las ecuaciones obtenidas armamos un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas, podemos resolver empleando cualquier método matemático que manejemos:




Como podemos ver, los signos de las corrientes nos dieron todos de magnitud positiva, eso quiere decir que el sistema de referencia elegido al plantear el problema fue el correcto, si como resultado alguna de las corrientes fuera de signo negativo, quiere decir que la dirección de circulación de esa corriente es en sentido opuesto al elegido por nosotros.



Ejemplo 3:


Supongamos que nos presentan la siguiente red eléctrica, donde las resistencias internas de la batería son despreciables ¿cuál es la corriente que circula por cada resistencia?



Tenemos un nodo donde se juntan las tres corrientes:



De acá en más, la operatoria es exactamente igual al ejemplo anterior, solo tenemos que resolver el sistema de ecuaciones anteriormente presentado. Resolviendo eso obtenemos como resultado que la intensidad de corriente sobre cada una de las resistencias es la siguiente:




Videos sobre las Leyes de Kirchhoff:


Explicación de las Leyes de Kirchhoff:



Resolución de circuitos usando Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff



Ejercicios resueltos de Leyes de Kirchhoff: